Dynamisches Verhalten, Schaltungsdesign und Synchronisation eines neuartigen symmetrischen chaotischen Systems mit koexistierenden Attraktoren

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 1893 (2023) Diesen Artikel zitieren

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In diesem Artikel stellen wir ein neuartiges dreidimensionales chaotisches System mit seltsamen Eigenschaften vor, indem wir die Konstruktion einer 3D-chaotischen Schaltungsmethode anwenden. In diesem System existieren mehrere Gleichgewichte und reichlich nebeneinander existierende Attraktoren. Es wird ein mathematisches Modell entwickelt und detaillierte Stabilitätsanalysen für Gleichgewichtspunkte durchgeführt, wobei signifikante Ergebnisse der periodenverdoppelnden Bifurkationsmuster erhalten werden, die durch Phasenebenendiagramme und Lyapunov-Exponentenspektren bestätigt werden. Durch Variation des Anfangswerts und des eindeutig gesteuerten Parameters wird der chaotische Double-Scroll-Attraktor in ein Paar symmetrischer singulärer Attraktoren aufgeteilt. Anschließend werden die lokalen Anziehungsgebiete hinsichtlich des Ausgangszustandes untersucht. Anschließend validieren die vom Multisim-Simulationstool generierten Ergebnisse der Schaltungssynthese die Selbsterregungseigenschaften dieses Systems. Schließlich wird die Rückkopplungskontrolltechnik verwendet, um die Differenzsynchronisation dieses Systems zu untersuchen. Die wichtigsten Schlussfolgerungen belegen die Gültigkeit und Zuverlässigkeit der Differenzsynchronisation.

1963 wurde „Chaos“ erstmals in numerischen Experimenten zur Wetterdynamik entdeckt1. Es handelt sich um eine scheinbar zufällige Bewegung, was bedeutet, dass in deterministischen nichtlinearen Systemen zufallsähnliches Verhalten ohne Hinzufügung von Zufallsfaktoren auftritt. Als Zweig der nichtlinearen Wissenschaft wird die Chaostheorie häufig in der medizinischen Diagnose2, der Wirtschaft3, der Bildverschlüsselung4,5,6, dem neuronalen Netzwerk7, der Erkennung schwacher Signale8,9, der sicheren Kommunikation10 usw. angewendet. Chaotische Eigenschaften, die stark von den Anfangsbedingungen und Systemparametern abhängen , beleuchten viele interessante komplizierte nichtlineare Phänomene. Da die Existenz von Koexistenzattraktoren eine Vielzahl optionaler stationärer Zustände für Systeme bereitstellt, hat sie sich in den letzten Jahren allmählich zu einem Forschungsschwerpunkt entwickelt. Koexistenz-Attraktoren weisen darauf hin, dass zwei oder mehr Attraktoren unter unterschiedlichen Parametern und Anfangsbedingungen erzeugt werden11. Ein klassisches Beispiel ist, dass der Schmetterlingsattraktor des Lorenz-Systems in einem bisher unerforschten Parameterraumbereich in ein Paar symmetrischer singulärer Attraktoren zerlegt wird12. Kengna et al. schlugen ein dreidimensionales Jerk-System mit kubischen nichtlinearen Termen vor und fanden heraus, dass die Koexistenz von Attraktoren eng mit Parametervariationen zusammenhängt13. Bao et al. konstruierten einen chaotischen Memristorschaltkreis und beobachteten die Koexistenz einer unendlichen Anzahl von Attraktoren14. Die Singularitäten und Instabilitäten des Chaos können durch versteckte Attraktoren und selbsterregte Attraktoren beschrieben werden. Eine Selbsterregung bedeutet, dass das Anziehungsbecken aus instabilen Gleichgewichten erregt wird15. Der andere ist definiert als ein Attraktor mit mehreren Gleichgewichtspunkten und stabilen Gleichgewichtszuständen oder ohne Gleichgewicht16,17. Bisher wurden nichtlineare elektronische Schaltkreise mit komplexem dynamischem Verhalten, wie selbsterregten chaotischen Schwingungen, versteckten Schwingungen und dem Verhalten mehrerer gleichzeitig existierender Attraktoren18, theoretisch und numerisch untersucht.

Angesichts der boomenden Internettechnologien ist die Sicherheit der Informationsübertragung für die Öffentlichkeit von großer Bedeutung. Heutzutage wird die Chaossynchronisation erfolgreich in der sicheren Kommunikation eingesetzt19,20. Auf der Grundlage des Vorschlags einer chaotischen Selbstsynchronisationsmethode und der Realisierung der Synchronisation zweier chaotischer Systeme21 wurden verschiedene Chaossynchronisationsschemata entwickelt, wie z. B. vollständige Synchronisation22, Antisynchronisation23, generalisierte Synchronisation24, Phasen- und Antiphasensynchronisation25,26, projektive Synchronisation27 , Kombinationssynchronisation28,29, Kombinations-Kombinationssynchronisation30 und zusammengesetzte Synchronisation31. Erstens führte Referenz32 eine Differenzsynchronisationsmethode ein, die die Synchronisation zwischen zwei Antriebssystemen und einem Reaktionssystem mithilfe der Methode der linear gewichteten Kombination realisiert. Die flexible Auswahl des Skalierungsfaktors macht die geometrische Topologie des gekoppelten Systems komplexer und die Vorhersage des Wegs zum Chaos für eine bessere sichere Kommunikationsleistung schwieriger. Um die oben genannten chaotischen Synchronisationsschemata zu realisieren, wurde eine Vielzahl von Steuerungstechniken entwickelt, wie z. B. lineare und nichtlineare Rückkopplungssteuerung33, Gleitmodussteuerung34, aktive Steuerung35, adaptive Steuerung36 und neuronale Netzwerke37. Du et al. leiteten ein Kriterium für die endliche Zeitsynchronisation von Memristor-basierten neuronalen Netzen fraktioneller Ordnung mit Zeitverzögerung ab38. Wang et al. schlug eine memristive Synapsenkontrollmethode zum Entwurf chaotischer Attraktoren mit mehreren Strukturen vor und untersuchte das Synchronisationsproblem memristiver neuronaler Netze über einen aobserver-basierten Controller39,40.

In dieser Forschung beabsichtigen wir, ein dreidimensionales nichtlineares chaotisches System mit mehreren stabilen Zuständen vorzuschlagen, deren Stabilitäts- und Gleichgewichtspunkte leicht kontrolliert werden können. Im Gegensatz zu nur quadratischen nichtlinearen Termen in den meisten existierenden Systemen macht unser System die dynamischen Eigenschaften komplexer, indem es einen kubischen nichtlinearen Term hinzufügt. Darüber hinaus lösen wir durch die Einführung stabiler variabler Parameter die Jacobin-Matrix und zeichnen die Porträts der Eigenschaften des stabilen Zustands auf, um die Details des instabilen Fokus, der stabilen Knoten und der stabilen Punkte zu erhalten. Darüber hinaus verwenden wir ein Bifurkationsdiagramm, das mit einem Spektrum der größten Lyapunov-Exponenten zusammenfällt, um Chaosverhalten und koexistierende Attraktoren zu untersuchen. Der Beitrag dieser Arbeit ist im Wesentlichen vierfach: (1) Das entworfene System ist an einen selbsterregten Oszillator in einem integrierten System anpassbar; (2) Der Schaltkreis des chaotischen Systems wird von der Multisim-Software entworfen und simuliert, wodurch die numerischen Simulationsergebnisse effektiv überprüft werden können. (3) Die lineare Rückkopplungssteuerung eignet sich für chaotische Systeme mit kubischer Nichtlinearität und wird bei der Differenzsynchronisation verwendet. (4) Basierend auf Synchronisationsschemata sind unsere Ergebnisse für die sichere Kommunikation praktisch.

Im Jahr 2013 wurde von Jafari und Sprott41 eine Reihe dreidimensionaler chaotischer Systeme mit quadratischen Nichtlinearitäten vorgeschlagen, wobei die mathematischen Modelle des Sprott-A-Systems und des NE8-Systems durch die folgenden autonomen Differentialgleichungen ausgedrückt werden können. (1) und (2)

Sprott A-System:

NE8-System:

wobei \({x}_{1}\), \({y}_{1}\), \({z}_{1}\) und \({x}_{2}\), \ ({y}_{2}\), \({z}_{2}\) sind Zustandsvariablen, \(a\mathrm{ und }b\) sind konstante Parameter.

Bemerkenswerterweise besteht in den oben genannten Systemen eine multiple Stabilität ohne Gleichgewicht, was auf die Existenz koexistierender Attraktoren hinweist42. Intuitiv zeigt Abb. 1 chaotische Attraktoren der Systeme mit den Parametern a = 1 und b = 1,47. Anschließend wird aus dem Sprott-A-System ein neues chaotisches 3D-System konstruiert, indem ein kubischer nichtlinearer Term hinzugefügt wird. Folglich wird das entsprechende mathematische Modell dieses Systems wie folgt formuliert:

wobei \(x\), \(y\), \(z\) Zustandsvariablen sind und \(v\) ein konstanter Parameter ist.

Chaotische Attraktoren der Systeme (1) und (2) mit (a) Parameter a = 1 und Anfangsbedingung (− 0,1, − 1, 0,3). (b) Parameter b = 1,47 und Anfangsbedingung (0, 0,1, 0).

Wenn der Parameter \(v\) eine einstellbare Variable bezeichnet, ist es einfach, Gleichgewichtspunkte des Systems (3) abzuleiten, indem man \(\dot{x}=0\), \(\dot{y}=0\), \(\dot{z}=0\):

Die Gleichgewichtspunkte können als \(S=(\widehat{x},\widehat{y},\widehat{z})\) ausgedrückt werden, wobei

Aus Gl. (4) ist es trivial zu erkennen, dass \(\widehat{y}\) und \(\widehat{z}\) der Zustandsvariablen \(\widehat{x}\) und dem Parameter \(v\) unterliegen ). Somit ändert sich \(S\) mit dem Parameter \(v\). Durch Linearisierung von (3) um den Gleichgewichtspunkt kann die Jacobin-Matrix ausgedrückt werden als:

Die charakteristische Gleichung kann wie folgt abgeleitet werden

wobei \(\lambda\) die Eigenwerte von Gl. (6) und

Der konstante Parameter \(v\) ändert sich im Bereich von [\(-\) c, c] mit der Zeitentwicklung, sodass wir die Werte von \(\widehat{x}\) erhalten können, weiter \(\widehat {y}\) und \(\widehat{z}\). Um die genauen Punkte und die Stabilität des Gleichgewichtspunkts zu untersuchen, legen wir die Grenze des Parameters A auf [− 2, 2] fest, dann werden die Ergebnisse in Abb. 2 intuitiv dargestellt.

Numerisch simulierte Gleichgewichtspunkte und Stabilitätsanalyse mit \(\nu \in [-\,\mathrm{2,2}]\).

Um die numerische Lösung der Eigenwerte der Jacobi-Matrix zu vermeiden, wird die Stabilität des Gleichgewichtspunkts aufgrund der Existenz quadratischer und kubischer nichtlinearer Terme durch die Trajektorie des Phasendiagramms beschrieben. Gemäß dem Routh-Hurwitz-Kriterium kann die Stabilität von Gleichgewichtspunkten durch Lösen von Gl. abgeschätzt werden. (6). In diesem chaotischen System werden Gleichgewichtspunkte in zwei Typen eingeteilt: instabiler Sattelfokus und stabiler Knoten. Negative reelle Eigenwerte oder komplexe Eigenwerte mit negativen Realteilen sind stabile Knoten. Im Gegenteil, diese positiven reellen Eigenwerte oder komplexen Eigenwerte mit positiven Realteilen sind instabile Knoten. Diese Eigenwerte sind Sattelknoten, wenn die Wurzeln reelle Eigenwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen sind.

Aus Abb. 2 ist ersichtlich, dass sich der Ort der Gleichgewichtspunkte mit der Zeit mit dem Parameter \(v\) im Bereich von \([-\,2, 2]\) ändert. Die rote Linie bezeichnet den instabilen Sattelfokus und die blaue Linie bezeichnet die stabilen Knoten. Die drei Diagramme mit den Bezeichnungen (a), (b) und (c) in Abb. 2 stellen Werte von drei Dimensionen der Gleichgewichtspunkte dar.

Durch Änderung der Anfangsbedingungen und Abstimmungsparameter werden Phasenverläufe und Dynamikverhalten qualitativ untersucht. Bifurkationsdiagramme gegen \(v\in [0.14, 0.32]\) aus den Anfangsbedingungen \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right), {x}_{02}=(- \,0,1,-\,2, 0,1)\) sind in Abb. 3a,b dargestellt und beweisen die Existenz chaotischer Attraktoren verschiedener Trajektorien, Grenzzyklen verschiedener Perioden, periodenverdoppelnder Bifurkation und Koexistenzbifurkation im System . Im Gegensatz zu den Systemen in den meisten Arbeiten handelt es sich bei dem in dieser Arbeit entwickelten System um eine Periodenverdopplung von periodischen und quasi-periodischen Zuständen. Gemäß Abb. 3b sind bei Einstellung der Parameter \({\nu }_{1}=0,147\) bzw. \({\nu }_{2}=0,156,\) die entsprechenden Attraktoren in Abb. dargestellt. 4, wobei die vom Algorithmus (A. Wolf, JB Swift) berechneten Lyapunov-Exponenten \({\lambda }_{11}=0,0153,{\lambda }_{12}=- \,0,0159,{\lambda } _{13}=-\, 2,1108\) und \({\lambda }_{21}=0,0040,{\lambda }_{22}=-\, 0,2545,{\lambda }_{23}=-\ , 1,7009\), was darauf hinweist, dass sich das System in quasiperiodischen bzw. periodischen Zuständen befindet. Unter verschiedenen Bedingungen durchläuft das System eine Hopf-Verzweigung und geht in einen kontinuierlichen Oszillationszustand über, um dann durch eine periodenverdoppelnde Verzweigung ins Chaos zu geraten. Ein normales oszillierendes Verhalten tritt plötzlich auf oder verschwindet, was zur Entstehung koexistierender Attraktoren führt, was die Komplexität der nichtlinearen Eigenschaften des Systems widerspiegelt.

Für die Anfangswerte (0,1, 2, 0,1) und (− 0,1, − 2, 0,1) variieren das Bifurkationsdiagramm und das Lyapunov-Spektrum des Systems (3) als \(v\).

Für die Anfangswerte (− 0,1, − 2, 0,1) sind die Phasendiagramme des Systems (3) in der x-y-Ebene: (a) quasiperiodischer Zustand mit \({\nu }_{1}=0,147\) . (b) Periodenzustand mit \({\nu }_{1}=0,156\).

Der größte Lyapunov-Exponent ist ein wichtiger quantitativer Index zur Messung dynamischer Eigenschaften. Es stellt die durchschnittliche exponentielle Rate der Konvergenz oder Divergenz eines Systems zwischen benachbarten Umlaufbahnen im Phasenraum dar. Ein kritischer Schwellenwert des Systemzustands kann indirekt aus einem gemeinsamen Zustand der größten Lyapunov-Exponenten des Systems ermittelt werden. Wenn \(v\) von 0,14 bis 0,32 variiert wird, ist das Einzelparameter-Lyapunov-Exponentenspektrum in Abb. 3c dargestellt. Wir können sehen, dass der Markierungspunkt den periodischen Zustand des Systems anzeigt, der sich aus dem Vorzeichen der drei Lyapunov-Exponenten ergibt: \((0,-,-)\). Es ist erwähnenswert, dass das Bifurkationsdiagramm mit dem Spektrum der größten Lyapunov-Exponenten übereinstimmt. Insbesondere der in dieser Arbeit verwendete Algorithmus zur Bestimmung der größten Lyapunov-Exponenten wurde in (A. Wolf, JB Swift) vorgeschlagen.

Koexistierende Attraktoren stellen mehrere optionale stationäre Zustände bereit, damit das System auf unterschiedliche Anforderungen reagieren kann. Für den Parameter \(v=0,21\) und die Anfangsbedingung (0,1, 2, 0,1) ist der chaotische Double-Scroll-Attraktor in Abb. 5 dargestellt. Die Lyapunov-Exponenten des Systems sind \({\lambda }_{1} =0,0864,{\lambda }_{2}=-0,0037,{\lambda }_{3}=-\,1,3122\). Daraus lässt sich ableiten, dass die Summe der LEs negativ ist:

was die Dissipation des Systems zeigt. Die entsprechende Lyapunov-Exponentdimension ist

wobei die Variable \(j\) \({\sum }_{i=1}^{j}{\lambda }_{i}>0\) und \({\sum }_{i=1}^ erfüllt {j+1}{\lambda }_{i}<0\). Der symmetrische seltsame Attraktor kann beobachtet werden, weil die Dimension des Lyapunov-Exponenten gebrochen ist und die Dissipation des Systems erfolgt.

Chaotische Attraktoren des Systems (3) mit Parameter \(\nu =0,21\) und Anfangsbedingung (0,1, 2, 0,1).

Ändern Sie den Parameter \(v=0,26\), dann ergeben sich im System (3) zwei unabhängige Attraktoren mit Anfangswerten (± 0,1, ± 2, 0,1), wie in Abb. 6 dargestellt. Die rote Linie bezeichnet den Attraktor mit Anfangsbedingung \({x}_{01}=\left(0.1, 2, 0.1\right)\) und die blaue Linie bezeichnet den Attraktor mit Anfangsbedingung \({x}_{02}=(-\,0.1 , -\,2, 0,1)\). Es kann verifiziert werden, dass die Attraktoren chaotisch sind, da sie den gleichen positiven maximalen Lyapunov-Exponenten \({\lambda }_{1}=0,0758\) und die gleiche fraktale Lyapunov-Dimension \({D}_{\lambda }=2,078\) haben. . Dementsprechend wird der chaotische Double-Scroll-Attraktor in Abb. 5 in zwei einzelne Attraktoren zerlegt. Es lässt sich leicht überprüfen, dass die beiden seltsamen Attraktoren eine Rotationssymmetrie um die z-Achse haben.

Ein Paar symmetrischer singulärer Attraktoren des Systems (3) mit Parameter \(\nu =0,26\) und Anfangsbedingung (\(\pm\) 0,1, \(\pm\) 2, 0,1).

Die periodenverdoppelnde Bifurkation und die Koexistenzbifurkation können visuell veranschaulicht werden, indem die Phasenporträts des Systems (3) mit Anfangsbedingungen (± 0,1, ± 2, 0,1) erstellt werden. Wie in Abb. 7 gezeigt, führt System (3) Periode 1, Periode 2 bzw. Chaos für \(v=0,1, 0,15, 0,3\) durch, was bedeutet, dass der Prozess des Chaos, der durch die Periodenverdopplungsgabelung erzeugt wird, begleitet ist durch Koexistenzgabelung.

Die Phasenporträts koexistierender symmetrischer Attraktoren in der x-y-Ebene mit Anfangsbedingungen (± 0,1, ± 2, 0,1): (a) \(\nu =0,1\). (b) \(\nu =0,15\). (c) \(\nu =0,3\).

Für die in Abb. 7c dargestellten koexistierenden symmetrischen Attraktoren sind in Abb. 8 die entsprechenden Attraktorbecken in drei verschiedenen Ebenen dargestellt, wobei der violette Bereich einem Paar symmetrischer seltsamer Attraktoren entspricht und der schwarze Bereich die Anfangsbedingung für die Erzeugung unbegrenzter Umlaufbahnen darstellt . Das Becken weist eine Z-Achsen-Rotationssymmetrie und eine komplexe fraktale Struktur auf.

Die örtlichen Anziehungspunkte in drei verschiedenen Ebenen. (a) Die \(x\left(0\right)-y\left(0\right)\)-Ebene mit \(z\left(0\right)=0,1\). (b) Die \(x\left(0\right)-z\left(0\right)\)-Ebene mit \(y\left(0\right)=2\). (c) Die \(y\left(0\right)-z\left(0\right)\)-Ebene mit \(x\left(0\right)=0,1\).

Die Anfangsbedingung kann als invariantes Maß zur Klassifizierung dynamischen Verhaltens angesehen werden. Bei chaotischen Systemen können geringfügige Unterschiede zwischen den Anfangsbedingungen im Laufe der Zeit zu großen Unterschieden in den Lösungen führen. Wenn die begrenzten Verhaltensweisen gefunden werden, werden die dynamischen Verhaltensweisen von chaotischem Spitzenverhalten, stabilem Ruhezustand und periodischem Spitzenverhalten anschließend durch Messung der Attraktorgrößen klassifiziert. Anhand der lokalen Anziehungsgebiete lässt sich die Stabilität des anfänglichen zustandsabhängigen dynamischen Verhaltens deutlich unterscheiden. Die Anfangsbedingungen gelten als \((x\left(0\right), y\left(0\right), 0.1)\), \((x\left(0\right), 2, z(0) )\) und \((0.1, y\left(0\right), z(0))\), während der Parameter als \(\nu =0.3\) beibehalten wird. Abbildung 8 zeigt das Anziehungsbecken in \(x\left(0\right)-\mathrm{y}(0)\), \(x\left(0\right)-z(0)\) und \( y\left(0\right)-z(0)\). Abbildung 8a zeigt, dass zwei rote Linien parallel zur x- und y-Achse verlaufen. Und der Schnittpunkt zweier Geraden, der den Anfangszustand \((0.1, 2, 0.1)\) angibt, liegt in den schwarzen Bereichen und ist mittlerweile der Parameter des Systems \(v=0.3\). Die Anfangsbedingung \((0.1, 2, 0.1)\) zeigt, dass sich das anfangsabhängige Verhalten des Systems als instabiles Chaos verhält. Aus diesem Phänomen lässt sich daher ableiten, dass langfristiges dynamisches Verhalten mit Anfangsbedingungen verbunden ist. Und es führt zur Entstehung von Bistabilität sowie zu instabilem Chaos und stabilen Punkten. Gemäß Abb. 8b ändert sich das lokale Anziehungsbecken auf einer Kreisbahn, die nicht kontinuierlich, sondern diskret ist, was darauf hindeutet, dass der chaotische Oszillator von einem Schwingungszustand in einen anderen übergeht. Dies ähnelt dem Energieniveauübergang in der Physik. Ein solches Anziehungsbecken ist in den vorgeschlagenen chaotischen Systemen selten. Das Anziehungsbecken in Abb. 8c ändert sich in einer diskreten Streifenbahn und zeigt reichhaltigere Schwingungseigenschaften, sodass es die Sicherheit der synchronen Kommunikation erhöhen kann. Bemerkenswert ist, dass die Attraktoren des vorgeschlagenen Systems selbsterregt und nicht verborgen sind, da ihre Anziehungsbecken mehrere instabile Gleichgewichtsfelder umfassen.

Zusätzlich zur Koexistenz symmetrischer Attraktoren gibt es bei \(v=0,3, 0,32\) mit den Anfangswerten (0,1, 2, 0,1) und (0,1, 0, 0,1) zwei Arten asymmetrischer Koexistenz-Attraktoren, Phasendiagramme und die entsprechenden Zeitreihen der Variablen \(x\) sind in Abb. 9 dargestellt. Die Koexistenz chaotischer Attraktoren und Grenzzyklen sowie die quasiperiodische Koexistenz können auch in Abb. 9a bzw. b beobachtet werden. Die Zeitreihen der Variablen \(x\) entsprechend Abb. 9a sind in Abb. 9c,d dargestellt. Ebenso ist die Beziehung von Abb. 9b, e, f dieselbe wie die erstere. Aus Abb. 9d,f geht hervor, dass zu Beginn der Schwingung ein Übergangseffekt entsteht und nach einiger Zeit Stabilität erreicht wird.

Aus den Anfangswerten (0,1, 2, 0,1) und (0,1, 0, 0,1) entstanden zwei Arten koexistierender asymmetrischer Attraktoren und Zeitreihen der Variablen \(x\).

Um die Dynamik zu untersuchen und die Machbarkeit eines theoretischen chaotischen Modells zu bestätigen, wird üblicherweise die Schaltungsimplementierung der entsprechenden mathematischen Modelle43,44 verwendet. Aufgrund ihrer weitreichenden Anwendung in der Technik ist es praktisch, elektronische Schaltkreise zu verwenden, die chaotische Systeme emulieren. Daher wird in diesem Abschnitt der elektronische Schaltkreis des neuen chaotischen Systems (3) entworfen und verifiziert.

Zahlreiche Studien45 haben darauf hingewiesen, dass die Operatoren gebrochener Ordnung nicht direkt unter der Standarddefinition von Differenzintegralen gebrochener Ordnung in Zeitbereichssimulationen realisiert werden können. Wenn die Schaltung direkt nach Systemgleichungen entworfen wird, funktioniert die Schaltung nicht normal. Durch die Anwendung des Operationsverstärker-Ansatzes46 sollte der Zustand der Variablen des Systems (3) verkleinert werden, um seltsame Attraktoren zu realisieren. Nach System Gl. (3) Skalierungsvariablen \(X\), \(Y\), \(Z\) werden als \(X=x/2\), \(Y=y/2\), \(Z= z/4\). Dabei sind \(x\), \(y\) und \(z\) die Zustandsvariablen in Systemgleichung. (3). Das System kann durch die Verwendung üblicher elektronischer Komponenten wie Widerstände, Kondensatoren, analoge Multiplizierer und Operationsverstärker implementiert werden.

Durch die Anwendung der Kirchhoff-Gesetze auf den elektronischen Schaltkreis kann der entsprechende Schaltkreiszustandsgleichungssatz des vorgeschlagenen neuartigen chaotischen Systems ausgedrückt werden als:

wobei \({v}_{c1}\), \({v}_{c2}\) und \({v}_{c3}\) die Spannungen an den Kondensatoren \({C}_{ 1}\), \({C}_{2}\), \({C}_{3}\). Und \({V}_{\alpha }\) ist eine stabile Gleichspannungsquelle, um die Konstante in ein Zahlensystem (3) umzusetzen. Bemerkenswerterweise kann der einzige Parameter \(v\) in (3) durch manuelles Einstellen des Widerstands \({R}_{8}\) eingestellt werden. Daraus lässt sich schließen, dass die drei Skalierungsvariablen \(X\), \(Y\) und \(Z\) jeweils die Spannung an den entsprechenden Kondensatoren darstellen. Die komplette Schaltung wird auf der elektronischen Simulationsplattform Multisim implementiert, wobei Abb. 10 die entworfene Schaltung beschreibt, die durch Multisim-Simulation implementiert wurde. Um ein nichtlineares chaotisches System zu realisieren, enthält die gesamte Schaltung drei Kondensatoren, elf Widerstände, sechs Multiplizierer und vier Operationsverstärker. Es ist zu erkennen, dass drei Multiplikatoren als 1/10 konfiguriert sind, die anderen beiden als -1/10 und der letzte als 1/1. Die Werte aller elektronischen Komponenten in Abb. 10 werden wie folgt bestimmt: \({R}_{1}={R}_{3}={R}_{7}=\) 40 \(\mathrm{k \Omega }\), \({R}_{2}=\) 2 \(\mathrm{k\Omega }\), \({R}_{4}=\) 80 \(\mathrm{k \Omega }\), \({R}_{5}={R}_{6}=\) 8 \(\mathrm{k\Omega }\),\({R}_{8}=\ ) 13,33 \(\mathrm{k\Omega }\), \({R}_{9}=\) 50 \(\mathrm{k\Omega }\), \({C}_{1}={ C}_{2}={C}_{3}=\) 2,2 \(\mathrm{nF}\) und \({V}_{\alpha }=\) 1 V, wobei \({R }_{8}\) ist ein variabler Widerstand und sein Widerstandswert muss angepasst werden, um verschiedene Zustände zu erreichen. Andere Widerstands- und Kapazitätsparameter im chaotischen Stromkreis sind nicht eindeutig. Die in Abb. 10 dargestellte Schaltung ist nur eine Implementierung des Oszillators, die von verschiedenen Anwendungsszenarien abhängt. Beispielsweise ist es beim PCB-Layout erforderlich, die entsprechende Position und Parameter der Kapazität anzupassen, um den Einfluss parasitärer Kapazitäten auf die Gesamtschaltung zu reduzieren.

Implementierung eines chaotischen Schaltungssystems.

Die Simulationsergebnisse, bei denen es sich um Phasenporträts in der x-y-Ebene des Systems handelt, sind in Abb. 11 dargestellt, wobei die Kanäle von \({v}_{c1}\) und \({v}_{c2}) miteinander verbunden sind. \) im Stromkreis zum Oszilloskop. Wenn der Widerstand auf \({R}_{8}=\) 40 \(\mathrm{k\Omega }\) eingestellt wird, sind die Phasenporträts des Grenzzyklus in Abb. 11a,d mit dem entsprechenden Parameter v dargestellt = 0,1. Abbildung 11b,e stellen die Attraktoren von Periode 2 dar, indem der Widerstand \({R}_{8}=\) 26,67 \(\mathrm{k\Omega }\) mit dem entsprechenden Parameter v = 0,15 eingestellt wird. Während der Wert von \({R}_{8}\) als \({R}_{8}=\) 13,33 \(\mathrm{k\Omega }\) für den entsprechenden Parameter \( \nu\) =0,3, die Phasenporträts chaotischer Attraktoren sind in Abb. 11c,f dargestellt. Offensichtlich sind die Simulationsergebnisse des Schaltungszustands Gl. (16), die in Abb. 11 dargestellt sind, ähneln den theoretischen numerischen Phasentrajektorien, die in Abb. 7 dargestellt sind.

Die symmetrischen koexistierenden Attraktoren, die aus der entworfenen Schaltung mit den Kanälen von \({v}_{c1}\) und \({v}_{c2}\) erhalten werden.

Das Differenzsynchronisationsschema besteht aus zwei Mastersystemen und einem Slavesystem, wobei die Mastersysteme als definiert sind

und das Slave-System wird als betrachtet

wobei \(x={[{x}_{1}\left(t\right),{x}_{2}\left(t\right),{\dots ,x}_{n}(t) ]}^{T}\), \(y={[{y}_{1}\left(t\right),{y}_{2}\left(t\right),{\dots ,y }_{n}(t)]}^{T}\), \(z={[{z}_{1}\left(t\right),{z}_{2}\left(t\ rechts),{\dots ,z}_{n}(t)]}^{T}\) sind Zustandsvektoren von Master-Systemen und Slave-Systemen, \(F(x),G(y),H(z) :\) R \(\to R\) sind die kontinuierlichen Vektorfunktionen und \(U\left(x,y,z\right):R\times R\times R\to R\) ist ein Controller, der geht unter Verwendung der Feedback-Control-Technik entworfen werden.

Die Mastersysteme und das Slavesystem heißen Differenzsynchronisation, wenn drei konstante Matrizen \({M}_{1},{M}_{2},{M}_{3}\in R\) existieren. erfüllend \(\underset{t\to \infty }{\mathrm{lim}}\Vert {M}_{3}z-({M}_{2}y-{M}_{1}x)\ Vert =0\), wobei \({M}_{3}\ne 0\) und \(\Vert \cdot \Vert\) die Norm der Matrix darstellen.

Fall 1 Wenn konstante Matrizen \({M}_{3}\ne 0\), \({M}_{2}\ne 0\) und \({M}_{1}=0\), Die Differenzsynchronisation degeneriert in den vollständig synchronisierten Modus.

Fall 2 Wenn konstante Matrizen \({M}_{3}\ne 0\), \({M}_{2}=0\) und \({M}_{1}\ne 0\), die Differenzsynchronisation degeneriert in den antisynchronisierten Modus.

Gemäß dem Lyapunov-Stabilitätsprinzip wird die Linearisierungsmethode verwendet, um die Stabilität des Systems zu bestimmen (3). Wir konvertieren Gl. (3) bis

wobei \(X={(x,y,z)}^{\tau }\). Nach dem Taylor-Erweiterungssatz zu erhalten

Die charakteristische Gleichung der Koeffizientenmatrix A kann wie folgt abgeleitet werden:

wobei \(\lambda\) die Eigenwerte von Gl. (16).

Die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A sind \({\lambda }_{1}=0\), \({\lambda }_{\mathrm{2,3}}=(1\pm \sqrt{15}i) /4\). Das System ist aufgrund des positiven Realteils der Eigenwerte \({\lambda }_{\mathrm{2,3}}\) instabil.

Um die Differenzsynchronisationsmethode zu formulieren, werden die Systeme (1) und (2) als zwei Mastersysteme betrachtet und das Slavesystem mit Steuerfunktionen wird durch angegeben

wobei \({u}_{1}(t)\), \({u}_{2}(t)\) und \({u}_{3}(t)\) die Controller sind, die sie benötigen gestaltet werden. Seien die Matrizen \({M}_{3}=diag({m}_{31},{m}_{32},{m}_{33})\), \({M}_{2 }=diag\left({m}_{21},{m}_{22},{m}_{23}\right)\) und \({M}_{1}=diag({m} _{11},{m}_{12},{m}_{13})\), dann können Fehlerfunktionen wie folgt definiert werden:

Durch Ableitung der Fehlerfunktionen (18) können wir die Fehlersysteme ableiten

Die Steuerfunktionen werden erfasst, indem der lineare Term des Fehlersystems vereinfacht und lineare Rückkopplungsregler hinzugefügt werden:

Durch das Einsetzen der Steuerfunktionen in das Fehlersystem wird das Fehlersystem reduziert

Die Jacobi-Matrix des linearen Fehlersystems (18) ist

Nach den Kriterien von Routh-Hurwitz stabilisiert sich das Fehlersystem, wenn die Eigenwerte der Jacobi-Matrix negativ sind, sodass drei betrachtete chaotisch gekoppelte Systeme eine differenzielle Synchronisation erreichen würden. Durch Berechnung sind die Eigenwerte der Jacobi-Matrix (22) \({\lambda }_{1}={k}_{3}\), \({\lambda }_{2}=({k}_{ 1}+{k}_{2}+\sqrt{{\left({k}_{1}-{k}_{2}\right)}^{2}-4})/2\), \({\lambda }_{3}=({k}_{1}+{k}_{2}-\sqrt{{\left({k}_{1}-{k}_{2} \right)}^{2}-4})/2\), wobei \({k}_{1}\), \({k}_{2}\),\({k}_{3 }\) sind Rückkopplungsfaktoren.

Wenn Feedback-Faktoren zufriedenstellend sind

Die Differenzsynchronisation zwischen den chaotischen Systemen (1), (2) und (17) wird realisiert.

Um die Wirksamkeit der Differenzsynchronisation zu überprüfen, wird das Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung zur Lösung der Gleichungen in der numerischen Simulation verwendet. Unter Berücksichtigung der Parameter des Master-Sprott-A-Systems und des Slave-NE8-Systems werden a = 1 und b = 1,47 angenommen, die Anfangsbedingungen werden auf (0, 0,1, 0) bzw. (− 0,1, − 1, 0,3) festgelegt . Für die Anfangsbedingung (0,1, 2, 0,1) wird der Parameter des vorgeschlagenen Systems als \(\nu =0,3\) betrachtet. Somit sind in dieser Situation gemäß der obigen Analyse sowohl das Master-System als auch das Slave-System chaotisch. In Abwesenheit des durch Gl. definierten Controllers. (20) stellt der Zustandsverlauf des Master-Slave-Systems einen dramatisch chaotischen Zustand dar. Anwendung des Controllers bei t = 20, Auswahl des Rückkopplungskoeffizienten als \({k}_{1}={k}_{2}=- \, 4, {k}_{3}=- \, 1\) , werden die Master-Systeme und das Salve-System mithilfe der Feedback-Steuerungstechnologie in kurzer Zeit differenzsynchronisiert. Abbildung 12a–c zeigt den Zustandsverlauf des Master-Slave-Systems vor und nach der Steuerung.

Zustandstrajektorien der Differenzsynchronisation zwischen (a) \({m}_{21}{x}_{2}-{m}_{11}{x}_{1}\) und \({m}_{ 31}{x}_{3}\), (b) \({m}_{22}{y}_{2}-{m}_{12}{y}_{1}\) und \ ({m}_{32}{y}_{3}\), (c) \({m}_{23}{z}_{2}-{m}_{13}{z}_{ 1}\) und \({m}_{33}{z}_{3}\).

Die Fehlerkurve in Abb. 13a konvergiert in kurzer Zeit gegen Null und sagt voraus, dass das gekoppelte System differenziell synchronisiert ist. Wie in Abb. 13b gezeigt, wird die Synchronisationszeit von Systemen beim Einschalten der Steuerung bei t = 0 erheblich verkürzt, was darauf hinweist, dass die Synchronisationszeit von den Anfangsbedingungen beeinflusst wird. Der Rückkopplungskontrollkoeffizient der in Abb. 13c gezeigten Fehlerfunktionen wird auf \({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\) angepasst. Es ist offensichtlich, dass die Synchronisationszeit von Systemen erheblich erhöht wird, sodass sie sich an praktischere technische Szenarien anpassen können.

Die Trajektorien der Fehlerfunktionen mit aktiviertem Regler bei (a) t = 20 und \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\) . (b) t = 0 und \({k}_{1}={k}_{2}=-4, {k}_{3}=-1\). (c) t = 0 und \({k}_{1}={k}_{2}={k}_{3}=-1\).

In dieser Arbeit wurde ein neuartiges dreidimensionales symmetrisches chaotisches System mit mehreren Gleichgewichtspunkten entwickelt. Das entwickelte System ist eine Art chaotisches System mit gleichzeitig existierenden Attraktoren. Das dynamische Verhalten einschließlich seltsamer Attraktoren, symmetrischer Merkmale, Bifurkationsdiagramm, maximaler Lyapunov-Exponenten sowie lokaler Anziehungsbecken und Bistabilitätsverhalten wurde diskutiert. Und wir haben einen klaren Weg aufgezeigt, wie Chaosverhalten durch numerische Analyse untersucht und detaillierte Verhaltensweisen des chaotischen Systems ermittelt werden können. Um die Machbarkeit des theoretischen Systems weiter zu bestätigen, wurde mithilfe der elektronischen Simulationsplattform Multisim eine elektronische Schaltung implementiert, die dieses chaotische System nachahmt. Alle von der elektronischen Schaltung angezeigten Ergebnisse stimmen weitgehend mit denen der numerischen Simulation überein. Darüber hinaus wird die Feedback-Control-Methode verwendet, um die Differenzsynchronisation zwischen zwei Mater-Systemen Sprott A und dem NE8-System mit unterschiedlichen Strukturen zu erreichen. Dies zeigt, dass das in dieser Arbeit vorgeschlagene System für chaobasierte technische Anwendungen wie den Entwurf selbsterregter Oszillatoren und die sichere Kommunikation in zukünftigen Forschungen praktisch sein kann.

Die Daten, die die Ergebnisse dieser Studie stützen, sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Die Arbeit wird von der National Natural Science Foundation of China (Grant-Nr. 61927803, 61071025, 61502538 und 61501525) und der Natural Science Foundation der chinesischen Provinz Hunan (Grant-Nr. 2015JJ3157) finanziert.

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Haitao Qiu, Xuemei Xu, Kehui Sun und Can Cao

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Zhaohui Jiang

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HQ und XX konzipierten die Methoden, HQ trug zum Design, zur Simulation, zur Ergebnisanalyse und zum Entwurf des Manuskripts bei, XX, ZJ, KS und CC trugen zur kritischen Überarbeitung und Genehmigung der endgültigen Version des Manuskripts bei.

Korrespondenz mit Xuemei Xu.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

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Eingegangen: 15. September 2022

Angenommen: 19. Januar 2023

Veröffentlicht: 02. Februar 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-28509-z

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